Momenty bezwładności - przykład nr 2

kwietnia 7, 2019

Wprowadzenie

Zadanie: Wyznaczyć położenie głównych centralnych osi bezwładności i obliczyć główne centralne momenty bezwładności dla układu składającego się z prostokąta, ćwiartki koła oraz dwuteownika.

1. Schemat zadania

Rys. 1. Schemat układu dla przykładu nr 2

2. Oznaczenia

Podstawowe oznaczenia używane w obliczeniach:

$i$ – numer figury, gdzie $i = (1,2,3,...,n)$
$A_i$ $[\mathrm{cm}^2]$ – pole powierzchni figury $i$
$x_i$ $[\mathrm{cm}]$ – współrzędna X środka ciężkości figury $i$ w układzie globalnym
$y_i$ $[\mathrm{cm}]$ – współrzędna Y środka ciężkości figury $i$ w układzie globalnym
$S_i = (x_i, y_i)$ – współrzędne środka ciężkości figury $i$
$Sy_i = A_i \cdot x_i$ $[\mathrm{cm}^3]$ – moment statyczny względem osi Y w układzie globalnym
$Sx_i = A_i \cdot y_i$ $[\mathrm{cm}^3]$ – moment statyczny względem osi X w układzie globalnym
$x_c$ $[\mathrm{cm}]$ – współrzędna X środka ciężkości układu figur
$y_c$ $[\mathrm{cm}]$ – współrzędna Y środka ciężkości układu figur
$x_{ci}$ $[\mathrm{cm}]$ – odległość w osi X pomiędzy środkiem ciężkości figury $i$ a środkiem ciężkości całego układu
$y_{ci}$ $[\mathrm{cm}]$ – odległość w osi Y pomiędzy środkiem ciężkości figury $i$ a środkiem ciężkości całego układu
$Jx_i$ $[\mathrm{cm}^4]$ – moment bezwładności figury $i$ względem osi X
$Jy_i$ $[\mathrm{cm}^4]$ – moment bezwładności figury $i$ względem osi Y
$Dxy_i$ $[\mathrm{cm}^4]$ – dewiacyjny moment bezwładności figury $i$
[…tablice] – wartość odczytana z Tablic Inżynierskich

3. Transformacje geometryczne

3.1. Transformacja kątowa

Współrzędne $X$ i $Y$ po obrocie układu wyznacza się ze wzorów:

X = X' \cos(\varphi) - Y' \sin(\varphi)

Y = X' \sin(\varphi) + Y' \cos(\varphi)

gdzie $X, Y$ są współrzędnymi po transformacji kątowej, $X', Y'$ współrzędnymi przed transformacją, a $\varphi$ jest kątem obrotu układu $X'Y'$ względem układu $XY$ (ujemnym przy obrocie zgodnym z ruchem wskazówek zegara).

3.2. Transformacja liniowa

Współrzędne $x_i$ i $y_i$ po przesunięciu układu wyznacza się ze wzorów:

x_i = dX + x'

y_i = dY + y'

gdzie $dX$ i $dY$ oznaczają współrzędne nowego początku układu.

4. Charakterystyki geometryczne poszczególnych figur układu

Obliczenie nowych wartości środka ciężkości figury po obrocie o kąt i przesunięciu do punktu docelowego. Figura znajduje się teraz w takim położeniu jak wzory podane na obliczanie momentów. Układ taki nazywamy układem lokalnym figury.

4.1. Figura nr 1 - Prostokąt

$b = 11\ \mathrm{cm}$
$h = 6\ \mathrm{cm}$
kąt $OX: 0°$

Rys. 2. Figura nr 1 - prostokąt przed i po transformacji

Transformacja liniowa figury do punktu docelowego o wektor $dX$ i $dY$ :

dX = 5\ \mathrm{cm}

dY = 10\ \mathrm{cm}

x_1 = 5 + 5{,}5 = 10{,}5\ \mathrm{cm}

y_1 = 10 + (-3) = 7\ \mathrm{cm}

Pole powierzchni i momenty statyczne:

b = 11\ \mathrm{cm}

h = 6\ \mathrm{cm}

A_1 = b \cdot h = 66\ \mathrm{cm}^2

Sy_1 = A_1 \cdot x_1 = 66 \cdot 10{,}5 = 693\ \mathrm{cm}^3

Sx_1 = A_1 \cdot y_1 = 66 \cdot 7 = 462\ \mathrm{cm}^3

Wartości $Jx_1$ , $Jy_1$ , $Dxy_1$ w układzie $x_1y_1$ bez obrotu figury:

Jx_1 = \frac{b \cdot h^3}{12} = \frac{11 \cdot 6^3}{12} = \frac{11 \cdot 216}{12} = 198\ \mathrm{cm}^4

Jy_1 = \frac{b^3 \cdot h}{12} = \frac{11^3 \cdot 6}{12} = \frac{1331 \cdot 6}{12} = 665{,}5\ \mathrm{cm}^4

Dxy_1 = 0\ \mathrm{cm}^4

4.1.1. Układ nachylony

Kąt nachylenia jest równy zero względem układu XY, więc układ nachylony nie występuje.

Jx_1 = 198\ \mathrm{cm}^4

Jy_1 = 665{,}5\ \mathrm{cm}^4

Dxy_1 = 0\ \mathrm{cm}^4

4.1.2. Ocena znaku figury

Pole dodatnie - figura została podana jako dodatnia. Wartości $Jx_1$ , $Jy_1$ , $Dxy_1$ zachowują swoje znaki.

4.2. Figura nr 2 - Ćwiartka koła

$r = 4\ \mathrm{cm}$
kąt $OX: 0°$

Rys. 3. Figura nr 2 - ćwiartka koła przed i po transformacji

Transformacja liniowa figury do punktu docelowego o wektor $dX$ i $dY$ :

dX = 5\ \mathrm{cm}

dY = 4\ \mathrm{cm}

e = \frac{4r}{3\pi} = \frac{4 \cdot 4}{3\pi} = 1{,}6977\ \mathrm{cm}

x_2 = 5 + 1{,}6977 = 6{,}6977\ \mathrm{cm}

y_2 = 4 + 1{,}6977 = 5{,}6977\ \mathrm{cm}

Wartości $Jx_2$ , $Jy_2$ , $Dxy_2$ w układzie $x_2y_2$ bez obrotu figury:

A_2 = \frac{\pi r^2}{4} = \frac{\pi \cdot 4^2}{4} = 4\pi = 12{,}5664\ \mathrm{cm}^2

Jx_2 = \left(\frac{\pi}{16} - \frac{4}{9\pi}\right) r^4 = 0{,}05488 \cdot 256 = 14{,}0489\ \mathrm{cm}^4

Jy_2 = \left(\frac{\pi}{16} - \frac{4}{9\pi}\right) r^4 = 0{,}05488 \cdot 256 = 14{,}0489\ \mathrm{cm}^4

Dxy_2 = \left(\frac{1}{8} - \frac{4}{9\pi}\right) r^4 = (-0{,}01724) \cdot 256 = -4{,}4134\ \mathrm{cm}^4

4.2.1. Układ nachylony

Kąt nachylenia jest równy zero względem układu XY, więc układ nachylony nie występuje.

Jx_2 = 14{,}0489\ \mathrm{cm}^4

Jy_2 = 14{,}0489\ \mathrm{cm}^4

Dxy_2 = -4{,}4134\ \mathrm{cm}^4

4.2.2. Ocena znaku figury

Pole ujemne - figura została podana jako ujemna. Wartość $A$ (pole powierzchni) zostało zmienione na ujemne.

A_2 = -12{,}5664\ \mathrm{cm}^2

Wartości momentów bezwładności zmieniają znaki:

Jx_2 = -14{,}0489\ \mathrm{cm}^4

Jy_2 = -14{,}0489\ \mathrm{cm}^4

Dxy_2 = 4{,}4134\ \mathrm{cm}^4

4.3. Figura nr 3 - Dwuteownik 120 INP

kąt $OX: -24{,}161074°$

Rys. 4. Figura nr 3 - dwuteownik w układzie lokalnym

Transformacja kątowa figury w układzie lokalnym o kąt:

\varphi = -24°\ 9'\ 39''

Obliczenie współrzędnych po transformacji kątowej:

X' = 2{,}9\ \mathrm{cm}

Y' = (-6)\ \mathrm{cm}

X = X' \cos(\varphi) - Y' \sin(\varphi)

Y = X' \sin(\varphi) + Y' \cos(\varphi)

X = 2{,}9 \cdot \cos((-24{,}1611)) - (-6) \cdot \sin((-24{,}1611))

Y = 2{,}9 \cdot \sin((-24{,}1611)) + (-6) \cdot \cos((-24{,}1611))

X = 2{,}9 \cdot 0{,}9124 - (-6) \cdot 0{,}4093

Y = 2{,}9 \cdot 0{,}4093 + (-6) \cdot 0{,}9124

X = 2{,}646 - (-2{,}4558) = 5{,}1018\ \mathrm{cm}

Y = 1{,}187 + (-5{,}4744) = (-4{,}2874)\ \mathrm{cm}

Transformacja liniowa figury do punktu docelowego o wektor $dX$ i $dY$ :

dX = (-0{,}2919)\ \mathrm{cm}

dY = 5{,}626\ \mathrm{cm}

x_3 = (-0{,}2919) + 5{,}1018 = 4{,}8099\ \mathrm{cm}

y_3 = 5{,}626 + (-4{,}2874) = 1{,}3386\ \mathrm{cm}

Wartości $Jx_3$ , $Jy_3$ , $Dxy_3$ w układzie $x_3y_3$ bez obrotu figury (odczytane z tablic):

s = 5{,}8\ \mathrm{cm}

h = 12\ \mathrm{cm}

A_3 = 14{,}2\ \mathrm{cm}^2

Jx'_3 = 328\ \mathrm{cm}^4

Jy'_3 = 21{,}5\ \mathrm{cm}^4

Dxy'_3 = 0\ \mathrm{cm}^4

4.3.1. Momenty i dewiacje dla układu nachylonego

Ponieważ kąt nachylenia analizowanej figury jest różny od zera i wynosi $\alpha = -24{,}1611°$ , należy obliczyć układ nachylony.

4.3.2. Jx₃ w układzie nachylonym

Jx_3 = \frac{Jx'_3 + Jy'_3}{2} + \frac{Jx'_3 - Jy'_3}{2} \cdot \cos(2\alpha) + Dxy'_3 \cdot \sin(2\alpha) =

= \frac{328 + 21{,}5}{2} + \frac{328 - 21{,}5}{2} \cdot \cos(2 \cdot (-24{,}1611)) + 0 \cdot \sin(2 \cdot (-24{,}1611)) =

= \frac{349{,}5}{2} + \frac{306{,}5}{2} \cdot \cos(-48{,}3221) + 0 \cdot \sin(-48{,}3221) =

= 174{,}75 + 153{,}25 \cdot 0{,}6649 + 0 \cdot (-0{,}7469) =

= 174{,}75 + 101{,}9023 + 0 = 276{,}6523\ \mathrm{cm}^4

4.3.3. Jy₃ w układzie nachylonym

Jy_3 = \frac{Jx'_3 + Jy'_3}{2} - \frac{Jx'_3 - Jy'_3}{2} \cdot \cos(2\alpha) - Dxy'_3 \cdot \sin(2\alpha) =

= \frac{328 + 21{,}5}{2} - \frac{328 - 21{,}5}{2} \cdot \cos(2 \cdot (-24{,}1611)) - 0 \cdot \sin(2 \cdot (-24{,}1611)) =

= \frac{349{,}5}{2} - \frac{306{,}5}{2} \cdot \cos(-48{,}3221) - 0 \cdot \sin(-48{,}3221) =

= 174{,}75 - 153{,}25 \cdot 0{,}6649 + 0 \cdot (-0{,}7469) =

= 174{,}75 - 101{,}9023 + 0 = 72{,}8477\ \mathrm{cm}^4

4.3.4. Dxy₃ w układzie nachylonym

Dxy_3 = \frac{Jx'_3 - Jy'_3}{2} \cdot \sin(2\alpha) + Dxy'_3 \cdot \cos(2\alpha) =

= \frac{328 - 21{,}5}{2} \cdot \sin(2 \cdot (-24{,}1611)) + 0 \cdot \cos(2 \cdot (-24{,}1611)) =

= \frac{306{,}5}{2} \cdot \sin(-48{,}3221) + 0 \cdot 0{,}6649 =

= 153{,}25 \cdot (-0{,}7469) + 0 \cdot 0{,}6649 =

= -114{,}4617\ \mathrm{cm}^4

4.3.5. Ocena znaku figury

Pole dodatnie - figura została podana jako dodatnia. Wartości $Jx_3$ , $Jy_3$ , $Dxy_3$ zachowują swoje znaki.

5. Środki ciężkości figur w układzie

Rys. 5. Środki ciężkości poszczególnych figur w układzie globalnym

6. Położenie głównych centralnych osi bezwładności (xc, yc) względem układu XY

Dla ułatwienia obliczeń zestawimy wszystkie dane w formie tabelarycznej:

Tab. 1. Zestawienie charakterystyk poszczególnych figur

Obliczenie środka ciężkości układu:

\sum A_i = 67{,}6336\ \mathrm{cm}^2

\sum Sy_i = \sum A_i x_i = 677{,}1349\ \mathrm{cm}^3

\sum Sx_i = \sum A_i y_i = 409{,}4097\ \mathrm{cm}^3

x_c = \frac{\sum Sy_i}{\sum A_i} = \frac{677{,}1349}{67{,}6336} = 10{,}0118\ \mathrm{cm}

y_c = \frac{\sum Sx_i}{\sum A_i} = \frac{409{,}4097}{67{,}6336} = 6{,}0533\ \mathrm{cm}

Rys. 6. Główne centralne osie bezwładności

7. Odległości od środka ciężkości figury do środka ciężkości układu

Wzory ogólne:

x_{ci} = x_i - x_c

y_{ci} = y_i - y_c

7.1. Figura nr 1 - Prostokąt

Prostokąt $b = 11$ cm, $h = 6$ cm:

x_{c1} = x_1 - x_c = 10{,}5 - 10{,}0118 = 0{,}4882\ \mathrm{cm}

y_{c1} = y_1 - y_c = 7 - 6{,}0533 = 0{,}9467\ \mathrm{cm}

7.2. Figura nr 2 - Ćwiartka koła

Ćwiartka koła $r = 4$ cm:

x_{c2} = x_2 - x_c = 6{,}6977 - 10{,}0118 = -3{,}3142\ \mathrm{cm}

y_{c2} = y_2 - y_c = 5{,}6977 - 6{,}0533 = -0{,}3557\ \mathrm{cm}

7.3. Figura nr 3 - Dwuteownik 120 INP

x_{c3} = x_3 - x_c = 4{,}8099 - 10{,}0118 = -5{,}2019\ \mathrm{cm}

y_{c3} = y_3 - y_c = 1{,}3386 - 6{,}0533 = -4{,}7147\ \mathrm{cm}

Rys. 7. Odległości środków ciężkości poszczególnych figur do środka ciężkości układu

8. Centralne momenty bezwładności dla układu xc, yc

Zestawienie wszystkich danych potrzebnych do obliczenia centralnych momentów bezwładności:

Tab. 2. Zestawienie momentów i dewiacji poszczególnych figur

8.1. Sumy częściowe

\sum Jx_i = 460{,}6034\ \mathrm{cm}^4

\sum Jy_i = 724{,}2988\ \mathrm{cm}^4

\sum Dxy_i = -110{,}2451\ \mathrm{cm}^4

8.2. Elementy do wzoru Steinera

\sum A_i x_{ci}^2 = 261{,}9607\ \mathrm{cm}^4

\sum A_i y_{ci}^2 = 373{,}2016\ \mathrm{cm}^4

\sum A_i x_{ci} y_{ci} = 363{,}9531\ \mathrm{cm}^4

9. Momenty bezwładności całego układu (twierdzenie Steinera)

Jx_c = \sum Jx_i + \sum A_i y_{ci}^2 = 460{,}6034 + 373{,}2016 = 833{,}8051\ \mathrm{cm}^4

Jy_c = \sum Jy_i + \sum A_i x_{ci}^2 = 724{,}2988 + 261{,}9607 = 986{,}2595\ \mathrm{cm}^4

Dxy_c = \sum Dxy_i + \sum A_i x_{ci} y_{ci} = -110{,}2451 + 363{,}9531 = 253{,}708\ \mathrm{cm}^4

To są centralne momenty bezwładności układu figur obliczone zgodnie z twierdzeniem Steinera.

10. Kąt alfa głównych centralnych osi bezwładności

\tan 2\alpha_{gl} = \frac{2Dxy_c}{Jy_c - Jx_c} = \frac{2 \cdot 253{,}708}{986{,}2595 - 833{,}8051} = \frac{507{,}4159}{152{,}4544} = 3{,}3283

2\alpha_{gl} = \arctan(\tan 2\alpha_{gl}) = \arctan(3{,}3283) = 73{,}277°

\alpha_{gl} = \frac{\alpha_{gl}}{2} = 36{,}6385°

Rys. 8. Kąt alfa głównych centralnych osi bezwładności - rysunek końcowy

11. Główne centralne momenty bezwładności

11.1. Jmax

J_{max} = \frac{Jy_c + Jx_c}{2} + \sqrt{\left(\frac{Jy_c - Jx_c}{2}\right)^2 + Dxy_c^2} =

= \frac{986{,}2595 + 833{,}8051}{2} + \sqrt{\left(\frac{986{,}2595 - 833{,}8051}{2}\right)^2 + 253{,}708^2} =

= 910{,}0323 + \sqrt{76{,}2272^2 + 253{,}708^2} =

= 910{,}0323 + \sqrt{70178{,}3139} = 910{,}0323 + 264{,}9119 =

J_{max} = 1174{,}9442\ \mathrm{cm}^4\ \ \ \ (J_I)

11.2. Jmin

J_{min} = \frac{Jy_c + Jx_c}{2} - \sqrt{\left(\frac{Jy_c - Jx_c}{2}\right)^2 + Dxy_c^2} =

= \frac{986{,}2595 + 833{,}8051}{2} - \sqrt{\left(\frac{986{,}2595 - 833{,}8051}{2}\right)^2 + 253{,}708^2} =

= 910{,}0323 - \sqrt{76{,}2272^2 + 253{,}708^2} =

= 910{,}0323 - \sqrt{70178{,}3139} =

= 910{,}0323 - 264{,}9119 =

J_{min} = 645{,}1204\ \mathrm{cm}^4\ \ \ \ (J_{II})

12. Sprawdzenie

12.1. Niezmiennik J₁

\delta J_1 = (Jy_c + Jx_c) - (J_{max} + J_{min}) = 0

(Jy_c + Jx_c) = 986{,}2595 + 833{,}8051 = 1820{,}0645

(J_{max} + J_{min}) = 1174{,}9442 + 645{,}1204 = 1820{,}0645

\delta J_1 = 1820{,}0645 - 1820{,}0645 = 0

12.2. Niezmiennik J₂

\delta J_2 = (Jy_c \cdot Jx_c - Dxy_c^2) - (J_{max} \cdot J_{min}) = 0

(Jy_c \cdot Jx_c - Dxy_c^2) = 986{,}2595 \cdot 833{,}8051 - 253{,}708^2 = 757980{,}4168

(J_{max} \cdot J_{min}) = 1174{,}9442 \cdot 645{,}1204 = 757980{,}4168

\delta J_2 = 757980{,}41681640374 - 757980{,}416816403751 \cong 0

13. Momenty bezwładności dla układu XY w punkcie [0,0]

Jx_{[0,0]} = Jx_c + \sum A_i \cdot y_c^2 = 833{,}8051 + 2478{,}2986 = 3312{,}1037\ \mathrm{cm}^4

Jy_{[0,0]} = Jy_c + \sum A_i \cdot x_c^2 = 986{,}2595 + 6779{,}3442 = 7765{,}6037\ \mathrm{cm}^4

Dxy_{[0,0]} = Dxy_c + \sum A_i \cdot x_c \cdot y_c = 253{,}708 + 67{,}6336 \times 10{,}0118 \times 6{,}0533

Dxy_{[0,0]} = 253{,}708 + (-4098{,}9315) = -3845{,}2235\ \mathrm{cm}^4

Podsumowanie

W przedstawionym przykładzie wykonaliśmy kompletne obliczenia charakterystyk geometrycznych złożonego układu składającego się z prostokąta, ćwiartki koła (traktowanej jako figura ujemna) oraz dwuteownika obróconego o kąt $-24{,}16°$ . Szczególną uwagę zwrócono na:

Transformacje geometryczne - zastosowanie transformacji liniowych i kątowych do przeniesienia figur do właściwego układu współrzędnych
Układ nachylony - obliczenie momentów bezwładności dla dwuteownika z uwzględnieniem jego obrotu
Figury ujemne - prawidłowe uwzględnienie ćwiartki koła jako figury odejmowanej od układu
Twierdzenie Steinera - wykorzystanie do obliczenia centralnych momentów bezwładności całego układu
Weryfikacja - sprawdzenie poprawności obliczeń za pomocą niezmienników $J_1$ i $J_2$

Poprawność wykonanych obliczeń została potwierdzona przez sprawdzenie niezmienników, co świadczy o prawidłowym wykonaniu wszystkich kroków obliczeniowych dla tego złożonego układu figur.

Ostatnia aktualizacja: stycznia 17, 2026

Momenty bezwładności - przykład nr 1 Koło Mohra na przykładzie