Kącik Wiedzy
Metoda Sił - podejście Maxwella-Mohra

Metoda Sił - podejście Maxwella-Mohra

maja 21, 2019

Wprowadzenie

Metoda sił - metoda służąca do rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych (belek, ram, kratownic).

Co to są układy statycznie niewyznaczalne, możesz dowiedzieć się w artykule Konstrukcje statycznie niewyznaczalne.

Algorytm obliczeń

  1. Ustalanie stopnia statycznej niewyznaczalności układu
  2. Przyjęcie układu podstawowego i układu równań metody sił
  3. Obliczanie układu podstawowego dla sił wirtualnych X
  4. Obliczanie współczynników macierzy sztywności
  5. Obliczanie układu podstawowego dla stanu P
  6. Współczynniki wyrazów wolnych
  7. Macierz współczynników i wyrazów wolnych
  8. Obliczanie i sprawdzenie reakcji podporowych
  9. Obliczanie momentów przywęzłowych, sił tnących, sił normalnych

Przykład obliczeniowy

Zadanie: Wyznaczyć wykresy M, T, N dla ramy przedstawionej na poniższym schemacie przy pomocy metody sił.

1. Schemat zadania

Rys. 1. Schemat układu

Przyjęto przekrój podstawowy:

  • I = 3060 cm⁴
  • E = 205 GPa
  • Globalne EI = 6273 kNm²
  • Globalne EA = 809750 kN

2. Ustalenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu (SSN)

  • Liczba tarcz: T = 1
  • Więzi podporowe: P = 4
  • Przeguby sprowadzone: węzłowe R₀ = 0, dołączone R₁ = 0
  • Pola zamknięte sprowadzone: Pz = 3·(0-1) = -3
  • Połączenie wewnętrzne teleskopowe typu łyżwa: Stł = 0
  • Połączenie wewnętrzne teleskopowe typu tuleja: Stt = 0

Wzór ogólny:

SSN=−P+R0+R1+Stl+Stt−PzSSN = -P + R_0 + R_1 + S_{tl} + S_{tt} - PzSSN=−4+0+0+0+0−(−3)=(−1)SSN = -4 + 0 + 0 + 0 + 0 - (-3) = (-1)

Układ jest 1-krotnie statycznie niewyznaczalny (1 nadliczbowe).

Rys. 2. Reakcje układu do policzenia

Współrzędne węzłów:

  • Węzeł 1: x = 0.000 m, y = 0.000 m
  • Węzeł 2: x = 2.000 m, y = 0.000 m
  • Węzeł 3: x = 2.000 m, y = 2.000 m

3. Przyjęcie układu podstawowego

Aby dany układ był statycznie wyznaczalny, należy zastąpić 1 nieznane nadliczbowe siłami zastępczymi X. Powstały układ podstawowy musi jednak spełniać warunek geometrycznej niezmienności.

Rys. 3. Układ podstawowy metody sił

Układ równań metody sił dla układu podstawowego:

[δ1−1]⋅[X1]+[Δ1P]=[0][\delta_{1-1}] \cdot [X1] + [\Delta_{1P}] = [0]

4. Obliczenie układu podstawowego dla X₁

Działa tylko X₁.

Sprawdzono poprawność obliczeń dla schematu statycznego.

Pręt 1-2: Mik = 0, Mki = 1

Pręt 2-3: Mik = (-1), Mki = 1

Rys. 4. Momenty dla X1

5. Obliczenie współczynników macierzy sztywności

Dla prętów o osiach prostych i stałym EI, EA, GA do obliczania współczynników można stosować: wzór Mohra (Wereszczagina) ,wzór trapezów, wzór Simpsona lub inne. Gotowe wzory Wereszczagina czy wzór Simpsona można stosować dla przypadków z ograniczeniami. Najbardziej uniwersalnym i bez ograniczeń jest wzór Mohra z wersją całkowania przebiegu funkcji wykresu. Określenie przebiegu funkcji wykresu przy znanym obciążeniu nie jest problemem. Środek ciężkości i pole obliczymy wtedy poprzez całkowanie. Mając Pole wykresu, środek ciężkości i funkcje przebiegu wykresu bezproblemowo zastosujemy:∫F(x) f(x)dx = ΩF f(xc) , ΩF - pole wykresu funkcji F(x) w przedziale całkowania, f(xc) - wartość funkcji f(x) w punkcie xc , w którym znajduje się środek ciężkości funkcji F(x).

xc=SyA=∫pkf(x)⋅xdx∫pkf(x)⋅dxx_c = \frac{Sy}{A} = \frac{\int_p^k f(x) \cdot xdx}{\int_p^k f(x) \cdot dx}

Gdzie:

  • xcx_c - współrzędna środka ciężkości
  • SySy - moment statyczny względem osi YY
  • AA - pole powierzchni wykresu z osią OX

Obliczenia Całek dołączono osobnym zbiorem do projektu. Metodę liczenia przyjęto w zależności od wybranej opcji sposobu liczenia.

6. Obliczenie współczynników X

Rys. 5. Składnik nr 1 X1 X1

p=0k=2p=0 \quad k=2xc=∫pkf1(x)⋅xdx∫pkf1(x)dx=∫pk((−0,5)x)⋅xdx∫pk((−0,5)x)dx=x_c = \frac{\int_p^k f1(x) \cdot x dx}{\int_p^k f1(x) dx} = \frac{\int_p^k ((-0{,}5)x) \cdot x dx}{\int_p^k ((-0{,}5)x) dx} =xc=−1,33333−1=x_c = \frac{-1{,}33333}{-1} =xc=−1,33333−1=−1,3333−1=1,3333x_c = \frac{-1{,}33333}{-1} = \frac{-1{,}3333}{-1} = 1{,}3333f0=−0,5⋅x=−0,5⋅1,3333=−0,6667f0 = -0{,}5 \cdot x = -0{,}5 \cdot 1{,}3333 = -0{,}6667δ=Pole f1⋅wartosc f0(xc)1⋅EI=−1⋅−0,66671⋅1EI=0,6666⋅1EI1kNm\delta = \frac{Pole \,f1 \cdot wartosc \, f0(x_c)}{1 \cdot EI} = \frac{-1 \cdot -0{,}6667}{1} \cdot \frac{1}{EI} = 0{,}6666 \cdot \frac{1}{EI} \frac{1}{kNm}

Rys. 6. Składnik nr 2 X1 X1

p=0k=2p=0 \quad k=2xc=∫pkf1(x)⋅xdx∫pkf1(x)dx=∫pk(−1)⋅xdx∫pk(−1)dx=x_c = \frac{\int_p^k f1(x) \cdot x dx}{\int_p^k f1(x) dx} = \frac{\int_p^k (-1) \cdot x dx}{\int_p^k (-1) dx} =xc=−2−2=1x_c = \frac{-2}{-2} = 1f0=−1f0 = -1δ=Pole f1⋅wartosc f0(xc)1⋅EI=(−2)⋅(−1)1⋅1EI=2⋅1EI1kNm\delta = \frac{Pole \, f1 \cdot wartosc \, f0(x_c)}{1 \cdot EI} = \frac{(-2) \cdot (-1)}{1} \cdot \frac{1}{EI} = 2 \cdot \frac{1}{EI} \frac{1}{kNm}

7. Współczynniki Macierzy Sztywności

Składnik M nadliczbowa

δ1−1=0,6666+2=2,66661EImkN\delta_{1-1} = 0{,}6666 + 2 = 2{,}6666 \frac{1}{EI} \frac{m}{kN}

Macierz sztywności bez podzielenia przez EI, EA, GA

0.00042510.0004251

8. Obliczenie układu podstawowego dla Stan P

W celu ułatwienia całkowania układ obciążamy kolejno poszczególnymi obciążeniami stanu P

działa tylko P0, sprawdzono poprawność obliczeń dla schematu statycznego
Pręt 1-2 Mik=0 , Mki=(-10) kNm
Pręt 2-3 Mik=10 , Mki=0 kNm

Rys. 7. Momenty dla P0

działa tylko q0, sprawdzono poprawność obliczeń dla schematu statycznego
Pręt 1-2 Mik=0 , Mki=0 kNm
Pręt 2-3 Mik=0 , Mki=0 kNm

Rys. 8. Momenty dla q0

działa  tylko M0, sprawdzono poprawność obliczeń dla schematu statycznego
Pręt 1-2 Mik=0 , Mki=10 kNm
Pręt 2-3 Mik=0 , Mki=0 kNm

Rys. 9. Momenty dla M0

działa tylko SilosAll, sprawdzono poprawność obliczeń dla schematu statycznego
Pręt 1-2 Mik=0 , Mki=6.875 kNm
Pręt 2-3 Mik=3.125 , Mki=6.875 kNm

9. Obliczenie współczynników obciążenia

Rys. 10. Składnik nr 3 X1 P0

p=0k=2p=0 \quad k=2xc=∫pkf1(x)⋅xdx∫pkf1(x)dx=∫pk(5x)⋅xdx∫pk(5x)dx=x_c = \frac{\int_p^k f1(x) \cdot x dx}{\int_p^k f1(x) dx} = \frac{\int_p^k (5x) \cdot x dx}{\int_p^k (5x) dx} =xc=13,333310=1,3333x_c = \frac{13{,}3333}{10} = 1{,}3333f0=−0,5⋅x=−0,5⋅1,3333=−0,6667f0 = -0{,}5 \cdot x = -0{,}5 \cdot 1{,}3333 = -0{,}6667δ=Pole f1⋅wartosc f0(xc)1⋅EI=10⋅(−0,6667)1⋅1EI=(−6,6666)⋅1EI\delta = \frac{Pole \, f1 \cdot wartosc \, f0(x_c)}{1 \cdot EI} = \frac{10 \cdot (-0{,}6667)}{1} \cdot \frac{1}{EI} = (-6{,}6666) \cdot \frac{1}{EI}

Rys. 11. Składnik nr 4 X1 P0

p=0k=1p=0 \quad k=1xc=∫pkf1(x)⋅xdx∫pkf1(x)dx=∫pk(+10)⋅xdx∫pk(+10)dx=x_c = \frac{\int_p^k f1(x) \cdot x dx}{\int_p^k f1(x) dx} = \frac{\int_p^k (+10) \cdot x dx}{\int_p^k (+10) dx} =xc=510=0,5x_c = \frac{5}{10} = 0{,}5f0=−1f0 = -1δ=Pole f1⋅wartosc f0(xc)1⋅EI=10⋅(−1)1⋅1EI=(−10)⋅1EI\delta = \frac{Pole \, f1 \cdot wartosc \, f0(x_c)}{1 \cdot EI} = \frac{10 \cdot (-1)}{1} \cdot \frac{1}{EI} = (-10) \cdot \frac{1}{EI}

Rys. 12. Składnik nr 5 X1 P0

p=1k=2p=1 \quad k=2xc=∫pkf1(x)⋅xdx∫pkf1(x)dx=∫pk(−10x+20)⋅xdx∫pk(−10x+20)dx=x_c = \frac{\int_p^k f1(x) \cdot x dx}{\int_p^k f1(x) dx} = \frac{\int_p^k (-10x+20) \cdot x dx}{\int_p^k (-10x+20) dx} =xc=−26,66667+40−(−3,33333)−10−20+40−(−5)−20=x_c = \frac{-26{,}66667+40-(-3{,}33333)-10}{-20+40-(-5)-20} =xc=13,33333−6,6666720−15=6,66675=1,3333x_c = \frac{13{,}33333-6{,}66667}{20-15} = \frac{6{,}6667}{5} = 1{,}3333f0=−1f0 = -1δ=Pole f1⋅wartosc f0(xc)1⋅EI=5⋅(−1)1⋅1EI=(−5)⋅1EI\delta = \frac{Pole \, f1 \cdot wartosc \, f0(x_c)}{1 \cdot EI} = \frac{5 \cdot (-1)}{1} \cdot \frac{1}{EI} = (-5) \cdot \frac{1}{EI}

Rys. 13. Składnik nr 6 X1 P0

p=0k=2p=0 \quad k=2xc=∫pkf1(x)⋅xdx∫pkf1(x)dx=∫pk(−5x2+10x)⋅xdx∫pk(−5x2+10x)dx=x_c = \frac{\int_p^k f1(x) \cdot x dx}{\int_p^k f1(x) dx} = \frac{\int_p^k (-5x^2+10x) \cdot x dx}{\int_p^k (-5x^2+10x) dx} =xc=−20+26,66667−13,33333+20=x_c = \frac{-20+26{,}66667}{-13{,}33333+20} =xc=6,66676,6667=1x_c = \frac{6{,}6667}{6{,}6667} = 1f0=−0,5⋅x=−0,5⋅1=−0,5f0 = -0{,}5 \cdot x = -0{,}5 \cdot 1 = -0{,}5δ=Pole f1⋅wartosc f0(xc)1⋅EI=6,6667⋅(−0,5)1⋅1EI=(−3,3333)⋅1EI\delta = \frac{Pole \, f1 \cdot wartosc \, f0(x_c)}{1 \cdot EI} = \frac{6{,}6667 \cdot (-0{,}5)}{1} \cdot \frac{1}{EI} = (-3{,}3333) \cdot \frac{1}{EI}

Rys. 14. Składnik nr 7 X1 P0

p=0k=2p=0 \quad k=2xc=∫pkf1(x)⋅xdx∫pkf1(x)dx=∫pk(−5x)⋅xdx∫pk(−5x)dx=x_c = \frac{\int_p^k f1(x) \cdot x dx}{\int_p^k f1(x) dx} = \frac{\int_p^k (-5x) \cdot x dx}{\int_p^k (-5x) dx} =xc=(−13,3333)(−10)=1,3333x_c = \frac{(-13{,}3333)}{(-10)} = 1{,}3333f0=−0,5⋅x=−0,5⋅1,3333=−0,6667f0 = -0{,}5 \cdot x = -0{,}5 \cdot 1{,}3333 = -0{,}6667δ=Pole f1⋅wartosc f0(xc)1⋅EI=(−10)⋅(−0,6667)1⋅1EI=6,6666⋅1EI\delta = \frac{Pole \, f1 \cdot wartosc \, f0(x_c)}{1 \cdot EI} = \frac{(-10) \cdot (-0{,}6667)}{1} \cdot \frac{1}{EI} = 6{,}6666 \cdot \frac{1}{EI}

10. Współczynniki Wyrazów Wolnych

Składnik M obciążenie:

δ1−1=0,6666+2=2,66661EImkN\delta_{1-1} = 0{,}6666 + 2 = 2{,}6666 \frac{1}{EI} \frac{m}{kN}

Wyrazy Wolne

00

11. Macierz Współczynników i Wyrazów Wolnych

Składnik M nadliczbowa:

δ1−1=0,6666+2=2,66661EI1kNm\delta_{1-1} = 0{,}6666 + 2 = 2{,}6666 \frac{1}{EI} \frac{1}{kNm}

Składnik M obciążenie:

Δ1P=(−6,6666)+(−10)+(−5)+(−3,3333)+6,6666=(−18,3333)1EIm\Delta_{1P} = (-6{,}6666) + (-10) + (-5) + (-3{,}3333) + 6{,}6666 = (-18{,}3333) \frac{1}{EI} {m}

Układ równań kanonicznych materiałowy:

[0.0004251]⋅[X1]+0=[0][0.0004251] \cdot [X1]+0=[0]

Po rozwiązaniu układu otrzymano:

X1=6.875kNmX1=6.875 kNm

12. Obliczenie MTN dla wszystkich działających i obliczonych oddziaływań

Obciążamy układ podstawowy obliczonymi reakcjami nadliczbowymi oraz obciążeniem istniejącym

Rys. 15. Układ podstawowy do policzenia

Rys. 16. Reakcje układu podstawowego do policzenia

Składniki układu równań dla sumy X:

Σ=P0⋅cos⁡(180)+Rp1⋅cos⁡((−90))+H3=0\Sigma = P_0 \cdot \cos(180) + R_{p1} \cdot \cos((-90)) + H_3 = 0Σ=10⋅cos⁡(180)+Rp1⋅0+H3=0\Sigma = 10 \cdot \cos(180) + R_{p1} \cdot 0 + H_3 = 0Σ=10⋅(−1)+Rp1⋅0+H3=0\Sigma = 10 \cdot (-1) + R_{p1} \cdot 0 + H_3 = 0Σ=(−10)+Rp1⋅0+H3=0\Sigma = (-10) + R_{p1} \cdot 0 + H_3 = 0

Składniki układu równań dla sumy Y:

Σ=Q0y⋅sin⁡(90)+Rp1⋅sin⁡((−90))−V3=0\Sigma = Q_{0y} \cdot \sin(90) + R_{p1} \cdot \sin((-90)) - V_3 = 0Σ=20⋅sin⁡(90)+Rp1⋅(−1)−V3=0\Sigma = 20 \cdot \sin(90) + R_{p1} \cdot (-1) - V_3 = 0Σ=20⋅1+Rp1⋅(−1)−V3=0\Sigma = 20 \cdot 1 + R_{p1} \cdot (-1) - V_3 = 0Σ=20+Rp1⋅(−1)−V3=0\Sigma = 20 + R_{p1} \cdot (-1) - V_3 = 0

Składniki układu równań dla sumy M w punkcie [0;0]:

Σ=Q0y⋅(1−0)⋅sin⁡(90)+M0+P0⋅(0−1)⋅cos⁡(180)+\Sigma = Q_{0y} \cdot (1-0) \cdot \sin(90) + M_0 + P_0 \cdot (0-1) \cdot \cos(180) ++X12+Rp1⋅(0−0)⋅cos⁡((−80))+Rp1⋅(0−0)⋅sin⁡((−90))++ X1_2 + R_{p1} \cdot (0-0) \cdot \cos((-80)) + R_{p1} \cdot (0-0) \cdot \sin((-90)) ++H3⋅(0−2)+V3⋅(0−2)=0+ H_3 \cdot (0-2) + V_3 \cdot (0-2) = 0Σ=20⋅(1−0)⋅sin⁡(90)+10+10⋅(0−1)⋅cos⁡(180)+6,875+Rp1⋅0⋅0+\Sigma = 20 \cdot (1-0) \cdot \sin(90) + 10 + 10 \cdot (0-1) \cdot \cos(180) + 6{,}875 + R_{p1} \cdot 0 \cdot 0 ++Rp1⋅0⋅(−1)+H3⋅(−2)+V3⋅(−2)=0+ R_{p1} \cdot 0 \cdot (-1) + H_3 \cdot (-2) + V_3 \cdot (-2) = 0Σ=20⋅1+10+10⋅(−1)⋅(−1)+6,875+Rp1⋅0+Rp1⋅0+\Sigma = 20 \cdot 1 + 10 + 10 \cdot (-1) \cdot (-1) + 6{,}875 + R_{p1} \cdot 0 + R_{p1} \cdot 0 ++H3⋅(−2)+V3⋅(−2)=0+ H_3 \cdot (-2) + V_3 \cdot (-2) = 0Σ=20+10+10+6,875+H3⋅(−2)+V3⋅(−2)=0\Sigma = 20 + 10 + 10 + 6{,}875 + H_3 \cdot (-2) + V_3 \cdot (-2) = 0Σ=46,875+H3⋅(−2)+V3⋅(−2)=0\Sigma = 46{,}875 + H_3 \cdot (-2) + V_3 \cdot (-2) = 0

Układ równań:

[010−10−10−2−2][Rp1H3V3]+[(−10)2046,875]=[000]\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R_{p1} \\ H_3 \\ V_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} (-10) \\ 20 \\ 46{,}875 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

Po rozwiązaniu układu otrzymano:

Rp1=6.5625kNRp1=6.5625 kN

H3=10kNH3=10 kN

V3=13.4375kNV3=13.4375 kN

Rys. 17. Reakcje podporowe obliczone

Rys. 18. Reakcje do sprawdzenia MXY

13. Sprawdzenie Reakcji Podporowych Moment

Sprawdzenia poprawności wyznaczenia reakcji podporowych dokonamy w punkcie [(-1); (-1)] układzie XY. Punkt musi być tak dobrany, aby wszystkie siły i reakcje brały udział w obliczaniu Sumy Momentów. W punkcie tym Suma Momentów od wszystkich sił i reakcji powinna wynosić M=0.

ΣM=Rp1⋅(0−(−1))⋅sin⁡((−90))+V3⋅(2−(−1))+H3⋅((−1)−2)+\Sigma M = R_{p1} \cdot (0-(-1)) \cdot \sin((-90)) + V_3 \cdot (2-(-1)) + H_3 \cdot ((-1)-2) ++P0⋅((−1)−1)⋅cos⁡(180)+Q0y⋅(1−(−1))⋅sin⁡(90)+M0++ P_0 \cdot ((-1)-1) \cdot \cos(180) + Q_{0y} \cdot (1-(-1)) \cdot \sin(90) + M_0 ++X12=0+ X1_2 = 0ΣM=6,5625⋅1⋅(−1)+(−13,4375)⋅3+10⋅(−3)+10⋅(−2)⋅(−1)+\Sigma M = 6{,}5625 \cdot 1 \cdot (-1) + (-13{,}4375) \cdot 3 + 10 \cdot (-3) + 10 \cdot (-2) \cdot (-1) ++20⋅2⋅1+10+6,875=0+ 20 \cdot 2 \cdot 1 + 10 + 6{,}875 = 0ΣM=6,5625⋅(−1)+(−13,4375)⋅3+10⋅(−3)+10⋅2+20⋅2+10+\Sigma M = 6{,}5625 \cdot (-1) + (-13{,}4375) \cdot 3 + 10 \cdot (-3) + 10 \cdot 2 + 20 \cdot 2 + 10 ++6,875=0+ 6{,}875 = 0ΣM=(−6,5625)+(−40,3125)+(−30)+20+40+10+6,875=0\Sigma M = (-6{,}5625) + (-40{,}3125) + (-30) + 20 + 40 + 10 + 6{,}875 = 0ΣM=(0) kNm\Sigma M = (0) \ \text{kNm}

14. Sprawdzenie Reakcji Podporowych Rzut X

ΣX=10+10⋅cos⁡(180)=0\Sigma X = 10 + 10 \cdot \cos(180) = 0ΣX=10+10⋅(−1)=0\Sigma X = 10 + 10 \cdot (-1) = 0ΣX=10+(−10)=0\Sigma X = 10 + (-10) = 0ΣX=0kN\Sigma X = 0 kN

15. Sprawdzenie Reakcji Podporowych Rzut Y

ΣY=6,5625⋅sin⁡((−90))+(−13,4375)+20⋅sin⁡(90)=0\Sigma Y = 6{,}5625 \cdot \sin((-90)) + (-13{,}4375) + 20 \cdot \sin(90) = 0ΣY=6,5625⋅(−1)+(−13,4375)+20⋅1=0\Sigma Y = 6{,}5625 \cdot (-1) + (-13{,}4375) + 20 \cdot 1 = 0ΣY=(−6,5625)+(−13,4375)+20=0\Sigma Y = (-6{,}5625) + (-13{,}4375) + 20 = 0ΣY=0kN\Sigma Y = 0 kN

16. Ocena Wyników Obliczeń

Z uwagi na spełnione warunki:

ΣM=0.0,ΣX=0.0,ΣY=0.0ΣM=0.0, ΣX=0.0, ΣY=0.0

Ocena: obliczenia prawidłowe

17. Obliczenie Momentów przywęzłowych

Pręt 1-2 Mik=0 , Mki=6.875 kNm
Pręt 2-3 Mik=3.125 , Mki=6.875 kNm

Rys. 19. Wykresy M wszystkie

18. Obliczenie Sił Tnących

Rys. 20. Siły Tnące 1-2

T1−2=0+(−6,875)2−(−10)=6,5625 kNT_{1-2} = \frac{0 + (-6{,}875)}{2} - (-10) = 6{,}5625\ kNT2−1=0+(−6,875)2+(−10)=(−13,4375) kNT_{2-1} = \frac{0 + (-6{,}875)}{2} + (-10) = (-13{,}4375)\ kN

Rys. 21. Siły Tnące 2-3

T2−3=(−3,125)+(−6,875)2−(−5)=0 kNT_{2-3} = \frac{(-3{,}125) + (-6{,}875)}{2} - (-5) = 0\ kNT3−2=(−3,125)+(−6,875)2+(−5)=(−10) kNT_{3-2} = \frac{(-3{,}125) + (-6{,}875)}{2} + (-5) = (-10)\ kN

Rys. 22. Wykresy T wszystkie

19. Obliczenie sił Normalnych

Aby Węzeł był w równowadze to suma jego składowych sił i reakcji rzutowana na oś X i oś Y musi być równa zero:

ΣSx+ΣRx+ΣPx=0\Sigma S_x + \Sigma R_x + \Sigma P_x = 0ΣSy+ΣRy+ΣPy=0\Sigma S_y + \Sigma R_y + \Sigma P_y = 0

Gdzie:

ΣSx\Sigma S_x - to suma sił prętowych rzutowana na oś X w Węźle

ΣRx\Sigma R_x - to suma reakcji podporowych rzutowana na oś X w Węźle - jeżeli istnieją

ΣPx\Sigma P_x - to suma oddziaływania zewnętrznego rzutowana na oś X w Węźle - jeżeli jest przyłożona

ΣSy\Sigma S_y - to suma sił prętowych rzutowana na oś Y w Węźle

ΣRy\Sigma R_y - to suma reakcji podporowych rzutowana na oś Y w Węźle - jeżeli istnieją

ΣPy\Sigma P_y - to suma oddziaływania zewnętrznego rzutowana na oś Y w Węźle - jeżeli jest przyłożona

Obliczenia rozpoczynamy od Węzła, dla którego liczba niewiadomych sił w Prętach jest ≤2.

Elementy szukane oznaczono kolorem czerwonym. Elementy zerowe są przedstawione w tle rysunku.

Wybrano Węzeł = 1

Rys. 23. Węzeł 1

Do policzenia N1−2β=0N_{1-2} \quad \beta = 0

Rzutowanie na oś X:

N1−2⋅cos⁡(0)=0N_{1-2} \cdot \cos(0) = 0N1−2⋅1=0N_{1-2} \cdot 1 = 0

Rzutowanie na oś Y:

N1−2⋅sin⁡(0)+6,5625⋅sin⁡(90)+6,5625⋅sin⁡((−90))=0N_{1-2} \cdot \sin(0) + 6{,}5625 \cdot \sin(90) + 6{,}5625 \cdot \sin((-90)) = 0N1−2⋅0+6,5625⋅1+6,5625⋅(−1)=0N_{1-2} \cdot 0 + 6{,}5625 \cdot 1 + 6{,}5625 \cdot (-1) = 06,5625+(−6,5625)=06{,}5625 + (-6{,}5625) = 0

Równanie X:

N1−2⋅1=0N_{1-2} \cdot 1 = 0

Równanie Y:

=0= 0wyliczono N1−2=(0) kN\text{wyliczono } N_{1-2} = (0) \ kN

Wybrano Węzeł = 2

Rys. 24. Węzeł 2

Do policzenia N2−3β=90N_{2-3} \quad \beta = 90

policzone N2−1=(0)β=(−180)N_{2-1} = (0) \quad \beta = (-180)

Rzutowanie na oś X:

N2−3⋅cos⁡(90)=0N_{2-3} \cdot \cos(90) = 0N2−3⋅(0)=0N_{2-3} \cdot (0) = 0

Rzutowanie na oś Y:

N2−3⋅sin⁡(90)+(−13,4375)⋅sin⁡((−90))=0N_{2-3} \cdot \sin(90) + (-13{,}4375) \cdot \sin((-90)) = 0N2−3⋅1+(−13,4375)⋅(−1)=0N_{2-3} \cdot 1 + (-13{,}4375) \cdot (-1) = 0N2−3⋅1+13,4375=0N_{2-3} \cdot 1 + 13{,}4375 = 0

Równanie X:

=0= 0

Równanie Y:

N2−3⋅1+13,4375=0N_{2-3} \cdot 1 + 13{,}4375 = 0wyliczono N2−3=(−13,4375) kN\text{wyliczono } N_{2-3} = (-13{,}4375) \ kN

Rys. 25. Wykresy N wszystkie

20. Sprawdzenie Kinematyczne
Sprawdzamy czy przemieszczenia w poszczególnych punktach spełniają warunki podparcia i ciągłości. Wystarczy sprawdzić tyle składowych ile wynosi SSN (Stopień Statycznej Niewyznaczalności). Przekształcamy schemat naszego układu na statycznie wyznaczalny poprzez redukcje Nadliczbowych więzów. W miejscach usuniętych nadliczbowych przykładamy kolejno obciążenia jednostkowe i wyznaczamy momenty zginające. Obciążenia jednostkowe dla kątów obrotu mają charakter momentów jednostkowych. Obciążenia jednostkowe dla przemieszczeń liniowych charakter sił jednostkowych. Przemieszczenia wynikowe obliczamy ze wzoru Maxwella-Mohra

Rys. 26. Wykresy M wszystkie

21. Obliczenie układu podstawowego dla X1

Działa tylko X1.
Sprawdzono poprawność obliczeń dla schematu statycznego.
Pręt 1-2 Mik=0 , Mki=1
Pręt 2-3 Mik=(-1) , Mki=1

Rys. 27. Momenty dla X1

22. Obliczenie współczynników obciążenia

Rys. 28. Składnik nr8 X1 wszystkie

p=0k=1,3125p=0 \quad k=1{,}3125xc=∫pkf1(x)⋅xdx∫pkf1(x)dx=∫pk((−5)x2+6,5625x)⋅xdx∫pk((−5)x2+6,5625x)dx=x_c = \frac{\int_p^k f1(x) \cdot x dx}{\int_p^k f1(x) dx} = \frac{\int_p^{k} ((-5)x^2+6{,}5625x) \cdot x dx}{\int_p^{k} ((-5)x^2+6{,}5625x) dx} =xc=−3,70943+4,94591−3,76831+6,65247=x_c = \frac{-3{,}70943+4{,}94591}{-3{,}76831+6{,}65247} =xc=1,236482,88416=1,23651,8842=0,6562x_c = \frac{1{,}23648}{2{,}88416} = \frac{1{,}2365}{1{,}8842} = 0{,}6562f0=−0,5⋅x=−0,5⋅0,6562=(−0,3281)f0 = -0{,}5 \cdot x = -0{,}5 \cdot 0{,}6562 = (-0{,}3281)δ=Pole f1⋅wartosc f0(xc)1⋅EI=1,8842⋅(−0,3281)1⋅1EI=(−0,6182)⋅1EI\delta = \frac{Pole \, f1 \cdot wartosc \, f0(x_c)}{1 \cdot EI} = \frac{1{,}8842 \cdot (-0{,}3281)}{1} \cdot \frac{1}{EI} = (-0{,}6182) \cdot \frac{1}{EI}

Rys. 29. Składnik nr9 X1 wszystkie

p=1,3125k=2p=1{,}3125 \quad k=2xc=∫pkf1(x)⋅xdx∫pkf1(x)dx=∫pk((−5)x2+6,5625x)⋅xdx∫pk((−5)x+6,5625x)dx=x_c = \frac{\int_p^k f1(x) \cdot x dx}{\int_p^k f1(x) dx} = \frac{\int_p^k ((-5)x^2+6{,}5625x) \cdot x dx}{\int_p^k ((-5)x+6{,}5625x) dx} =xc=−20+17,5−(−3,70943)−4,94591−13,33333+13,125−(−3,76831)−5,65247=x_c = \frac{-20+17{,}5-(-3{,}70943)-4{,}94591}{-13{,}33333+13{,}125-(-3{,}76831)-5{,}65247} =xc=(−2,6)−1,23648(−0,20833)−1,88416=(−3,7366)(−2,0925)=1,7857x_c = \frac{(-2{,}6)-1{,}23648}{(-0{,}20833)-1{,}88416} = \frac{(-3{,}7366)}{(-2{,}0925)} = 1{,}7857f0=−0,5⋅x=−0,5⋅1,7857=(−0,8928)f0 = -0{,}5 \cdot x = -0{,}5 \cdot 1{,}7857 = (-0{,}8928)δ=Pole f1⋅wartosc f0(xc)1⋅EI=(−2,0925)⋅(−0,8928)1⋅1EI=1,8682⋅1EI\delta = \frac{Pole \, f1 \cdot wartosc \, f0(x_c)}{1 \cdot EI} = \frac{(-2{,}0925) \cdot (-0{,}8928)}{1} \cdot \frac{1}{EI} = 1{,}8682 \cdot \frac{1}{EI}

Rys. 30. Składnik nr10 X1 wszystkie

p=0k=1p=0 \quad k=1xc=∫pkf1(x)⋅xdx∫pkf1(x)dx=∫pk(+3,125)⋅xdx∫pk(+3,125)dx=x_c = \frac{\int_p^k f1(x) \cdot x dx}{\int_p^k f1(x) dx} = \frac{\int_p^k (+3{,}125) \cdot x dx}{\int_p^k (+3{,}125) dx} =xc=1,56253,125=0,5x_c = \frac{1{,}5625}{3{,}125} = 0{,}5f0=−1f0 = -1δ=Pole f1⋅wartosc f0(xc)1⋅EI=3,125⋅(−1)1⋅1EI=(−3,125)⋅1EI\delta = \frac{Pole \, f1 \cdot wartosc \, f0(x_c)}{1 \cdot EI} = \frac{3{,}125 \cdot (-1)}{1} \cdot \frac{1}{EI} = (-3{,}125) \cdot \frac{1}{EI}

Rys. 31. Składnik nr11 X1 wszystkie

p=1k=1,3125p=1 \quad k=1{,}3125xc=∫pkf1(x)⋅xdx∫pkf1(x)dx=∫pk((−10)x+13,125)⋅xdx∫pk((−10)x+13,125)dx=x_c = \frac{\int_p^k f1(x) \cdot x dx}{\int_p^k f1(x) dx} = \frac{\int_p^k ((-10)x+13{,}125) \cdot x dx}{\int_p^k ((-10)x+13{,}125) dx} =xc=−7,53662+11,30493−(−3,33333)−6,5625−8,61328+17,22656−(−5)−13,125=x_c = \frac{-7{,}53662+11{,}30493-(-3{,}33333)-6{,}5625}{-8{,}61328+17{,}22656-(-5)-13{,}125} =xc=3,76831−3,229175,61328−8,125=0,53910,4883=1,1042x_c = \frac{3{,}76831-3{,}22917}{5{,}61328-8{,}125} = \frac{0{,}5391}{0{,}4883} = 1{,}1042f0=−1f0 = -1δ=Pole f1⋅wartosc f0(xc)1⋅EI=0,4883⋅(−1)1⋅1EI=(−0,4882)⋅1EI\delta = \frac{Pole \, f1 \cdot wartosc \, f0(x_c)}{1 \cdot EI} = \frac{0{,}4883 \cdot (-1)}{1} \cdot \frac{1}{EI} = (-0{,}4882) \cdot \frac{1}{EI}

Rys. 32. Składnik nr12 X1 wszystkie

p=1,3125k=2p=1{,}3125 \quad k=2xc=∫pkf1(x)⋅xdx∫pkf1(x)dx=∫pk(−10x+13,125)⋅xdx∫pk(−10x+13,125)dx=x_c = \frac{\int_p^k f1(x) \cdot x dx}{\int_p^k f1(x) dx} = \frac{\int_p^k (-10x+13{,}125) \cdot x dx}{\int_p^k (-10x+13{,}125) dx} =xc=(−26,66667)+26,25−(−7,53662)−11,30493(−20)+26,25−(−8,61328)−17,22656=x_c = \frac{(-26{,}66667)+26{,}25-(-7{,}53662)-11{,}30493}{(-20)+26{,}25-(-8{,}61328)-17{,}22656} =xc=(−0,41667)−3,768316,25−8,61328=(−4,180)(−2,3633)=1,7708x_c = \frac{(-0{,}41667)-3{,}76831}{6{,}25-8{,}61328} = \frac{(-4{,}180)}{(-2{,}3633)} = 1{,}7708f0=−1f0 = -1δ=Pole f1⋅wartosc f0(xc)1⋅EI=(−2,3633)⋅(−1)1⋅1EI=2,3632⋅1EI\delta = \frac{Pole \, f1 \cdot wartosc \, f0(x_c)}{1 \cdot EI} = \frac{(-2{,}3633) \cdot (-1)}{1} \cdot \frac{1}{EI} = 2{,}3632 \cdot \frac{1}{EI}

23. Suma Współczynników Kontrolnych

Składnik M obciążenie:

Δ1P=−0,6182+1,8682−3,125−0,4882+2,3632=0,0000000031EI m\Delta_{1P} = -0{,}6182 + 1{,}8682 -3{,}125 -0{,}4882 + 2{,}3632 = 0{,}000000003 \frac{1}{EI} \ \text{m}=0 m= 0 \ \text{m}

Suma współczynników pomiarowych:
[0]

Obliczenia dokonane w programie Silos.

Ostatnia aktualizacja:
Metoda Przemieszczeń