Koło Mohra na przykładzie

Wprowadzenie

Koło Mohra - graficzna forma rozwinięta przez Christiana Otto Mohra, która obrazuje stan naprężeń głównych i transformację momentów bezwładności przy obrocie układu współrzędnych.

Dane wejściowe do konstrukcji koła Mohra

Aby skonstruować koło Mohra, potrzebujemy następujących danych:

• $\alpha_{gl}$ – kąt głównych centralnych osi bezwładności
• $Dxy_c$ – centralny moment dewiacji układu figur
• $Jx_c$, $Jy_c$ – centralne momenty bezwładności układu figur
• $J_{min}$, $J_{max}$ – główne centralne momenty bezwładności

Elementy do obliczenia

Do konstrukcji koła Mohra należy wyznaczyć:

• $R$ – promień koła Mohra
• $C$ – środek okręgu (punkt przecięcia osi rzędnych i linii łączącej punkty KL)

Przykład obliczeniowy

Teraz wykonamy obliczenia dla przykładu nr 2 (cały przykład możesz zobaczyć w artykule Momenty bezwładności - przykład nr 2).

Będziemy analizować następujący układ:

Dane do obliczeń

Z przykładu nr 2 mamy następujące dane:

• $2\alpha_{gl} = 73{,}277°$
• $Dxy_c = 253{,}708\ \mathrm{cm}^4$
• $Jx_c = 833{,}8051\ \mathrm{cm}^4$
• $Jy_c = 986{,}2595\ \mathrm{cm}^4$
• $J_{min} = 645{,}1204\ \mathrm{cm}^4$
• $J_{max} = 1174{,}9442\ \mathrm{cm}^4$

Obliczenie współrzędnej środka okręgu C

Odkładamy na osi X punkt C w odległości:

Obliczenie promienia koła Mohra

Wzór ogólny na promień:

Podstawiając wartości liczbowe:

Konstrukcja koła Mohra

Z punktu C zakreślamy okrąg o promieniu $R = 264{,}9119\ \mathrm{cm}$. Okrąg ten wyznacza na osi X punkty $J_{min}$ i $J_{max}$.

Odkładając na okręgu wartość $Jx_c$ lub $Jy_c$ otrzymamy kąt $2\alpha_{gl}$, którego wierzchołkiem jest środek okręgu.

Podsumowanie

Koło Mohra stanowi graficzną interpretację transformacji momentów bezwładności przy obrocie układu współrzędnych. Główne cechy koła Mohra:

1. Środek okręgu C leży na osi odciętych w punkcie będącym średnią arytmetyczną momentów $Jx_c$ i $Jy_c$
2. Promień okręgu zależy od różnicy momentów bezwładności oraz momentu dewiacji
3. Punkty przecięcia z osią X wyznaczają główne momenty bezwładności $J_{min}$ i $J_{max}$
4. Kąt $2\alpha_{gl}$ na kole Mohra odpowiada kątowi obrotu osi głównych w rzeczywistości
5. Koło pozwala odczytać momenty bezwładności i dewiacji dla dowolnego kąta obrotu układu współrzędnych