Elipsa Bezwładności

Wprowadzenie

Elipsa bezwładności jest graficzną reprezentacją rozkładu bezwładności geometrycznej przekroju w różnych kierunkach. Długości promieni elipsy w poszczególnych kierunkach odpowiadają promieniom bezwładności przekroju względem osi o tych kierunkach. Elipsa bezwładności jest konstruowana na podstawie głównych centralnych momentów bezwładności przekroju.

Definicja promienia bezwładności

Promień bezwładności jest to pierwiastek kwadratowy z ilorazu osiowego momentu bezwładności i pola powierzchni przekroju:

Gdzie:

• $i_{\max}$, $i_{\min}$ – promienie bezwładności (półosie elipsy bezwładności)
• $J_{\max}$, $J_{\min}$ – główne centralne momenty bezwładności
• $A$ – pole powierzchni przekroju

Przykład obliczeniowy

Teraz wykonamy obliczenia dla przykładu nr 2 (cały przykład możesz zobaczyć w artykule Momenty bezwładności - przykład nr 2).

Dane do obliczeń

Z przykładu nr 2 mamy następujące dane:

• $A = 67{,}6336\ \mathrm{cm}^2$
• $J_{\min} = 645{,}1204\ \mathrm{cm}^4$
• $J_{\max} = 1174{,}9442\ \mathrm{cm}^4$

Obliczenie promieni bezwładności

Maksymalny promień bezwładności:

Minimalny promień bezwładności:

Graficzna reprezentacja elipsy bezwładności

Na rysunku przedstawiono elipsę bezwładności nałożoną na układ figur. Półosie elipsy odpowiadają obliczonym promieniom bezwładności:

• Większa półoś elipsy: $i_{\max} = 4{,}1679\ \mathrm{cm}$
• Mniejsza półoś elipsy: $i_{\min} = 3{,}08844\ \mathrm{cm}$

Podsumowanie

Elipsa bezwładności stanowi graficzną interpretację zmienności promienia bezwładności przekroju w zależności od kierunku osi. Jej główne własności są następujące:

1. Półosie elipsy odpowiadają promieniom bezwładności $i_{\max}$ i $i_{\min}$,
2. Kierunki półosi pokrywają się z głównymi centralnymi osiami bezwładności przekroju,
3. Większa półoś odpowiada kierunkowi większego momentu bezwładności, a tym samym większej sztywności przekroju na zginanie,
4. Elipsa bezwładności obrazuje zmianę promienia bezwładności przy obrocie układu współrzędnych,
5. Znajomość elipsy bezwładności jest istotna przy projektowaniu elementów konstrukcyjnych pracujących na zginanie w różnych płaszczyznach.